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Geburtstagsparadoxon / Geburtstagsproblem |
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Das Geburtstagsparadoxon, manchmal auch als Geburtstagsproblem bezeichnet, ist ein Beispiel dafür, dass bestimmte Wahrscheinlichkeiten (und auch Zufälle) intuitiv häufig falsch abgeschätzt werden.
Das Ergebnis der Frage
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 23 anwesenden Personen (also z.B. bei zwei Fußballmannschaften und einem Schiedsrichter) zwei von ihnen am gleichen Tag Geburtstag haben (ohne Beachtung des Jahrganges)?
ist für die meisten verblüffend und wird deshalb als paradox wahrgenommen. So schätzen die meisten Menschen die Wahrscheinlichkeit um eine Zehnerpotenz falsch ein. Sie liegt nicht zwischen 1 und 5 % (wie zumeist geschätzt), sondern über 50 %; bei 50 Personen sogar bei über 97 %.
Im Unterschied dazu steht die Wahrscheinlichkeit, dass jemand an einem ganz bestimmten Tag Geburtstag hat: Wenn man sich zum Beispiel den Schiedsrichter nimmt und fordert, dass jemand mit genau ihm am selben Tag Geburtstag hat. Für diesen Fall sind 253 Personen notwendig, um eine Wahrscheinlichkeit von 50 % zu erreichen (siehe Binomialverteilung).
Der Grund für diesen großen Unterschied liegt darin, dass es bei n Personen n(n − 1) / 2 verschiedene Paare gibt, die am selben Tag Geburtstag haben könnten. Die Wahrscheinlichkeit für das Zusammentreffen beziehungsweise Kollidieren zweier Geburtstage steigt daher ungefähr mit dem Quadrat der Anzahl n an.
Dieser Effekt hat eine Bedeutung bei kryptographischen Hash-Funktionen, die einen eindeutigen Prüfwert aus einem Text ergeben sollen. Es ist dabei viel einfacher, zwei zufällige Texte zu finden, die den selben Prüfwert haben, als zu einem vorgegebenen Text einen weiteren zu finden, der den selben Prüfwert aufweist (siehe Geburtstagsangriff).
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